问直线被圆截得的弦长公式是什么

【直线被圆截得的弦长公式是什么】在解析几何中，当一条直线与一个圆相交时，会形成一条弦。这条弦的长度可以通过数学公式进行计算。了解这个公式有助于解决许多几何问题，尤其是在考试和实际应用中。

一、总结

当一条直线与一个圆相交时，我们可以根据圆的方程和直线的方程来求出它们之间的交点，从而计算出弦的长度。但更简便的方法是使用弦长公式，它不需要先求出交点坐标，而是直接通过圆心到直线的距离和圆的半径来计算弦长。

二、弦长公式

设圆的方程为：

$$

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

$$

其中，$(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。

设直线的方程为：

$$

Ax + By + C = 0

$$

则圆心 $(a, b)$ 到直线的距离 $d$ 为：

$$

d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

若 $d < r$，说明直线与圆相交，此时弦长 $L$ 为：

$$

L = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$$

三、公式对比表

四、注意事项

- 若 $d = r$，直线与圆相切，此时弦长为 0；

- 若 $d > r$，直线与圆不相交，无弦长；

- 若 $d = 0$，即直线经过圆心，弦长为最大值 $2r$。

五、总结

直线被圆截得的弦长公式是：

$$

L = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$$

其中 $d$ 是圆心到直线的距离，$r$ 是圆的半径。该公式简洁实用，适用于大多数直线与圆相交的情况。掌握这一公式，可以快速解决相关几何问题。