【arctanx的导数怎么推】在微积分中，求反三角函数的导数是常见的问题之一。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是一个经典问题。本文将详细讲解如何推导arctanx的导数，并以总结加表格的形式呈现结果，便于理解与记忆。
一、推导过程
设 $ y = \arctan x $，即 $ x = \tan y $。我们要求的是 $ \frac{dy}{dx} $。
根据隐函数求导法：
1. 对两边关于x求导：
$$
\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\tan y)
$$
2. 左边为1，右边用链式法则：
$$
1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}
$$
3. 解出 $ \frac{dy}{dx} $：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}
$$
4. 利用恒等式 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $，而 $ \tan y = x $，所以：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
因此，$ \frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $。
二、总结与表格
| 函数表达式 | 导数表达式 | 推导方法 |
| $ y = \arctan x $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} $ | 隐函数求导法 + 三角恒等式 |
| $ x = \tan y $ | - | 原函数定义 |
| $ \frac{d}{dx}(\tan y) = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} $ | - | 链式法则 |
| $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $ | - | 三角恒等式 |
| $ \tan y = x $ | - | 代入原函数关系 |
三、小结
通过上述推导过程可以看出，arctanx的导数可以通过隐函数求导的方法得出，关键在于利用三角恒等式将 $ \sec^2 y $ 转换为关于x的表达式。最终得到的结果简洁明了，是微积分中一个非常重要的导数公式。
如果你正在学习微积分或准备考试，掌握这个推导过程不仅有助于理解原理，还能提升解题能力。