【arctanx的导数怎么求】在微积分中，反三角函数的导数是一个常见的知识点。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是学习微分时必须掌握的内容之一。下面将通过总结的方式，详细讲解如何求arctanx的导数，并以表格形式进行归纳整理。
一、基本概念
arctanx 是 tanx 的反函数，定义域为全体实数（-∞, +∞），值域为 (-π/2, π/2)。其导数公式是：
$$
\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}
$$
这个公式可以通过反函数求导法则来推导，也可以通过隐函数求导的方法得出。
二、求导过程（简要说明）
设 $ y = \arctan x $，则有 $ x = \tan y $。
对两边关于x求导：
$$
\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} \tan y
$$
左边为1，右边使用链式法则：
$$
1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}
$$
因为 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $，而 $ \tan y = x $，所以：
$$
1 = (1 + x^2) \cdot \frac{dy}{dx}
$$
解得：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
因此，$ \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $
三、常见导数对比表
| 函数 | 导数 |
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arctan(ax) $ | $ \frac{a}{1 + a^2x^2} $（a为常数） |
| $ \arctan(u(x)) $ | $ \frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2} $（链式法则应用） |
四、总结
arctanx 的导数是 $ \frac{1}{1 + x^2} $，这一结果可以通过反函数求导或隐函数求导法得到。在实际应用中，若遇到更复杂的表达式（如含有复合函数的 arctan），需结合链式法则进行求导。掌握这一基础导数有助于理解和解决更复杂的微积分问题。