问直线到平面的距离公式

【直线到平面的距离公式】在三维几何中，计算直线与平面之间的距离是一个常见的问题。这个距离是指从直线上任意一点到平面的最短距离，由于直线上的点可以有无数个，但它们到平面的距离是相同的（除非直线与平面相交），因此我们可以选择一个合适的点进行计算。

一、公式总结

直线到平面的距离公式如下：

设直线 $ L $ 的参数方程为：

$$

\begin{cases}

x = x_0 + at \\

y = y_0 + bt \\

z = z_0 + ct

\end{cases}

$$

其中，$ (x_0, y_0, z_0) $ 是直线上的一点，方向向量为 $ \vec{v} = (a, b, c) $。

设平面 $ \pi $ 的一般式为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中，$ (A, B, C) $ 是平面的法向量。

则直线 $ L $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

二、公式说明

- 公式中的分子部分是直线上的点 $ (x_0, y_0, z_0) $ 到平面的代数距离。

- 分母是平面法向量的模长，用于将距离标准化。

- 如果直线与平面平行，则该距离恒定；如果直线与平面相交，则距离为零。

三、关键点对比表

四、实际应用举例

假设直线 $ L $ 过点 $ P(1, 2, 3) $，方向向量为 $ \vec{v} = (2, -1, 4) $，平面方程为 $ x - 2y + 3z - 5 = 0 $。

根据公式：

$$

d = \frac{1 - 2×2 + 3×3 - 5}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2}} = \frac{1 - 4 + 9 - 5}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{14}}

$$

五、总结

直线到平面的距离公式是解析几何中的重要工具，广泛应用于工程、物理和计算机图形学等领域。通过选取直线上的一个点代入平面方程，结合法向量的长度，可以快速求得两者之间的最短距离。理解这一公式的原理有助于更深入地掌握三维空间中的几何关系。