【商的求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。当两个函数相除时，其导数的计算需要遵循特定的规则，即“商的求导公式”。该公式是微分学中的基本内容之一，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
一、商的求导公式总结
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简记为：分子导乘分母减去分母导乘分子，再除以分母的平方。
二、公式解析
- 分子部分：$ u'(x)v(x) $ —— 分子的导数乘以分母；
- 减号后：$ -u(x)v'(x) $ —— 分子乘以分母的导数；
- 分母部分：$ [v(x)]^2 $ —— 分母的平方；
这个公式与“积的求导法则”类似，但符号不同，需要注意顺序。
三、常见应用示例
| 函数形式 | 导数表达式 |
| $ \frac{x}{\sin x} $ | $ \frac{1 \cdot \sin x - x \cdot \cos x}{\sin^2 x} $ |
| $ \frac{\ln x}{x} $ | $ \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} $ |
| $ \frac{e^x}{x^2} $ | $ \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} $ |
四、注意事项
1. 分母不能为零：在使用商的求导公式时，必须确保 $ v(x) \neq 0 $，否则公式不成立；
2. 顺序不可颠倒：分子导乘分母减去分母导乘分子，顺序不能调换；
3. 简化结果：在实际应用中，对导数表达式进行适当化简，有助于更清晰地理解函数的变化趋势。
五、总结
商的求导公式是处理两个函数相除时求导的核心方法。掌握这一公式不仅有助于解决复杂的数学问题，还能提升对函数变化规律的理解。通过不断练习和应用，可以更加熟练地运用这一规则进行微分运算。
如需进一步学习，建议结合具体例题进行推导练习，以加深对公式的理解和记忆。