问arctanx的原函数怎么算

【arctanx的原函数怎么算】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个常见的问题。对于函数 $ \arctan x $，它的原函数并不是直接显而易见的，需要通过一些技巧来求解。本文将详细讲解如何计算 $ \arctan x $ 的原函数，并以总结加表格的形式进行展示。

一、计算方法概述

$ \arctan x $ 是一个反三角函数，其导数为：

$$

\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

$$

但我们现在要找的是它的原函数，也就是：

$$

\int \arctan x \, dx

$$

这个积分不能直接使用基本积分公式，需要用分部积分法（Integration by Parts）来解决。

二、分部积分法步骤

设：

- $ u = \arctan x $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ dv = dx $，则 $ v = x $

根据分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来计算第二个积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{dt}{2} $

代入后：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

因此，原式变为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、总结与表格

四、结论

通过分部积分法，我们成功地求出了 $ \arctan x $ 的原函数。最终结果是：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

这个结果可以用于各种数学分析和工程应用中，尤其是在求解涉及反三角函数的积分问题时非常有用。