【导数公式表】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念，它用于描述函数的变化率。掌握常见的导数公式，有助于快速求解函数的导数，提高计算效率。本文将对常见的导数公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数 |
| 常数函数 | $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $（$ n \in \mathbb{R} $） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 自然指数函数 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 自然对数函数 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
二、三角函数的导数
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数 |
| 正弦函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| 余弦函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| 正切函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| 余切函数 | $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| 正割函数 | $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| 余割函数 | $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数 | ||
| 反正弦函数 | $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| 反余弦函数 | $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| 反正切函数 | $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| 反余切函数 | $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| 反正割函数 | $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| 反余割函数 | $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、导数的基本运算法则
为了更灵活地应用导数公式，还需掌握以下基本法则：
| 法则名称 | 公式表达 |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ |
| 积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $（$ g \neq 0 $） |
| 链式法则 | $ (f \circ g)' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
五、小结
导数是微积分的核心内容之一，熟练掌握各类函数的导数公式及运算法则是解决实际问题的基础。通过本表可以快速查阅常见函数的导数，提高学习与应用效率。建议在学习过程中多加练习，逐步加深对导数概念的理解。