【期望怎么求】在概率论与统计学中，“期望”是一个非常重要的概念，它用于描述一个随机变量在长期试验中平均表现的数值。无论是数学、金融、工程还是数据分析，理解如何计算期望都具有重要意义。本文将对“期望怎么求”进行简要总结，并通过表格形式清晰展示不同情况下的计算方法。
一、期望的基本概念
期望（Expected Value），通常用 E(X) 表示，是指在所有可能结果中，每个结果乘以其发生概率后的总和。它反映了随机变量在长期中的“平均值”。
二、期望的计算方法
1. 离散型随机变量的期望
对于离散型随机变量 X，其可能取值为 $ x_1, x_2, ..., x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, ..., p_n $，则期望公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则期望公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
3. 随机变量函数的期望
若 Y 是 X 的函数，即 $ Y = g(X) $，则 E(Y) 可以表示为：
- 离散型：$ E(Y) = \sum_{i=1}^{n} g(x_i) \cdot p_i $
- 连续型：$ E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \cdot f(x) \, dx $
三、常见分布的期望值
| 分布类型 | 概率质量函数/密度函数 | 期望值 E(X) |
| 伯努利分布 | P(X=1)=p, P(X=0)=1-p | p |
| 二项分布 | P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} | np |
| 泊松分布 | P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k! | λ |
| 均匀分布（a,b） | f(x)=1/(b-a) | (a+b)/2 |
| 正态分布 N(μ,σ²) | f(x)=... | μ |
| 指数分布 | f(x)=λe^{-λx} | 1/λ |
四、期望的性质
1. 线性性：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)，其中 a、b 为常数。
2. 期望的加法性：E(X + Y) = E(X) + E(Y)，无论 X 和 Y 是否独立。
3. 常数的期望：E(c) = c，c 为常数。
4. 独立变量的乘积期望：若 X 与 Y 独立，则 E(XY) = E(X)E(Y)。
五、实际应用举例
- 赌博游戏：计算每次下注的期望收益，判断是否有利可图。
- 保险定价：根据风险发生的概率和损失金额，计算合理的保费。
- 投资决策：评估不同投资方案的预期回报，辅助选择最优策略。
六、总结
期望是衡量随机事件“平均结果”的关键工具，掌握其计算方法对于理解和分析各种随机现象至关重要。无论是离散还是连续变量，都可以通过相应的公式进行计算。同时，期望具有良好的数学性质，使其在多个领域中广泛应用。
附表：期望计算方式汇总
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 离散型 | $ E(X) = \sum x_i \cdot p_i $ | 各个结果乘以对应概率之和 |
| 连续型 | $ E(X) = \int x \cdot f(x) dx $ | 对概率密度函数积分 |
| 函数期望 | $ E(g(X)) = \sum g(x_i) \cdot p_i $ 或 $ \int g(x) \cdot f(x) dx $ | 直接对函数进行期望计算 |
| 线性组合 | $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $ | 期望满足线性运算 |
通过以上内容，我们可以更系统地理解“期望怎么求”，并根据不同场景灵活运用相关公式进行计算。