【期望与方差公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值或长期趋势，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是关于期望与方差的常用公式总结。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在所有可能结果中的加权平均值，权重为各个结果发生的概率。
1. 离散型随机变量的期望
设随机变量 $ X $ 可取值 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的离散程度。
1. 方差的基本定义
对于任意随机变量 $ X $，其方差为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以通过以下公式计算：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望与方差
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k},\ k=0,1 $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a},\ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
四、期望与方差的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 方差的线性性：
$$
\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)
$$
3. 独立变量的方差：若 $ X $ 与 $ Y $ 相互独立，则
$$
\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)
$$
4. 协方差与方差的关系：
$$
\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)
$$
五、总结
期望和方差是统计分析中不可或缺的工具，它们帮助我们理解数据的集中趋势和波动情况。无论是理论推导还是实际应用，掌握这些公式的使用方法都是非常重要的。通过合理运用这些公式，可以更准确地评估和预测随机事件的结果。