【不等式常见公式】在数学学习中，不等式是重要的基础知识之一，广泛应用于代数、几何、函数分析等多个领域。掌握常见的不等式公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。以下是对一些常见不等式的总结，便于快速查阅与理解。
一、基本不等式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||||||
| 基本不等式（均值不等式） | $ a + b \geq 2\sqrt{ab} $（$ a, b > 0 $） | 当且仅当 $ a = b $ 时取等号 | ||||||
| 三元均值不等式 | $ a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} $（$ a, b, c > 0 $） | 同样适用于三个正数 | ||||||
| 绝对值不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 三角不等式的基本形式 |
二、二次不等式
对于形如 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $ 的不等式，其解法通常依赖于判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ 和开口方向。
| 情况 | 解集示例 | 说明 |
| $ a > 0 $，$ \Delta > 0 $ | $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $ | 抛物线开口向上，两根之间为负 |
| $ a > 0 $，$ \Delta = 0 $ | $ x \neq x_1 $ | 只有一个实根，其余部分为正 |
| $ a > 0 $，$ \Delta < 0 $ | $ x \in \mathbb{R} $ | 抛物线始终在x轴上方 |
| $ a < 0 $，$ \Delta > 0 $ | $ x_1 < x < x_2 $ | 开口向下，两根之间为正 |
三、绝对值不等式
| 公式 | 说明 | ||
| $ | x | < a $（$ a > 0 $） | $ -a < x < a $ |
| $ | x | > a $（$ a > 0 $） | $ x < -a $ 或 $ x > a $ |
| $ | x - a | < b $ | $ a - b < x < a + b $ |
| $ | x - a | > b $ | $ x < a - b $ 或 $ x > a + b $ |
四、其他常用不等式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 柯西不等式 | $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | 适用于向量内积 |
| 排序不等式 | 若 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则 $ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + \cdots + a_nb_1 $ | 顺序和 ≥ 乱序和 ≥ 倒序和 |
| 贝努利不等式 | $ (1 + x)^r \geq 1 + rx $（$ x > -1 $，$ r \geq 1 $） | 用于近似计算或证明 |
五、注意事项
1. 不等式两边同时乘以或除以一个负数时，必须改变不等号方向。
2. 在处理含绝对值的不等式时，需分情况讨论。
3. 对于高次不等式，可使用数轴标根法或区间分析法进行求解。
4. 多个不等式组成的系统，需逐一分析并求交集。
通过掌握这些常见不等式及其应用方法，可以更高效地解决实际问题，并在考试和日常学习中游刃有余。建议多做相关练习题，加深理解和记忆。