【对数的导数怎么求】在微积分中，求对数函数的导数是一个常见的问题。不同的对数形式（如自然对数、常用对数等）有不同的导数公式，掌握这些公式有助于快速计算和理解函数的变化率。
以下是对数函数导数的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、常见对数函数的导数
1. 自然对数函数：
$ y = \ln x $
导数为：
$$
\frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}
$$
2. 以 $ a $ 为底的对数函数：
$ y = \log_a x $
导数为：
$$
\frac{d}{dx} (\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
3. 对数函数的链式法则应用：
若 $ y = \ln u $，其中 $ u $ 是关于 $ x $ 的函数，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}
$$
4. 复合对数函数：
如 $ y = \log_a (u(x)) $，则导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u(x) \ln a} \cdot \frac{du}{dx}
$$
二、导数公式总结表
| 函数形式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ y = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ y = \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ | 以 $ a $ 为底的对数导数 |
| $ y = \ln u $ | $ \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} $ | 链式法则应用 |
| $ y = \log_a u $ | $ \frac{1}{u \ln a} \cdot \frac{du}{dx} $ | 复合对数函数导数 |
三、实际应用举例
- 例1： 求 $ y = \ln(3x^2 + 1) $ 的导数
解：令 $ u = 3x^2 + 1 $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 1}
$$
- 例2： 求 $ y = \log_2 (x^3 - 5) $ 的导数
解：根据公式，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x^3 - 5) \ln 2} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{(x^3 - 5) \ln 2}
$$
四、小结
对数函数的导数是微积分中的基础内容，掌握其基本公式和链式法则的应用是解决复杂导数问题的关键。不同类型的对数函数有不同的导数表达式，但核心思想都是通过对数的性质和导数规则相结合来求解。