【河内五分100种公式技巧】在河内五分（Hanoi Five）的数学问题中，掌握多种公式和技巧是提高解题效率和准确性的关键。为了帮助学习者更好地理解和应用这些方法，本文总结了100种常见的公式与技巧，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基础运算类
| 序号 | 公式/技巧名称 | 描述 |
| 1 | 加法交换律 | a + b = b + a |
| 2 | 加法结合律 | (a + b) + c = a + (b + c) |
| 3 | 减法性质 | a - b = a + (-b) |
| 4 | 乘法交换律 | a × b = b × a |
| 5 | 乘法结合律 | (a × b) × c = a × (b × c) |
| 6 | 分配律 | a × (b + c) = a × b + a × c |
| 7 | 幂的定义 | a^n = a × a × ... × a（n次） |
| 8 | 指数法则（同底相乘） | a^m × a^n = a^(m+n) |
| 9 | 指数法则（同底相除） | a^m ÷ a^n = a^(m-n) |
| 10 | 平方差公式 | (a + b)(a - b) = a² - b² |
二、代数公式类
| 序号 | 公式/技巧名称 | 描述 | ||||
| 11 | 完全平方公式 | (a + b)² = a² + 2ab + b² | ||||
| 12 | 完全立方公式 | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | ||||
| 13 | 因式分解法 | 将多项式写成几个因式的乘积 | ||||
| 14 | 二次方程求根公式 | x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) | ||||
| 15 | 一元一次方程解法 | ax + b = 0 → x = -b/a | ||||
| 16 | 分式化简 | 约分、通分、合并同类项等 | ||||
| 17 | 方程组解法（代入法） | 用一个变量表示另一个变量并代入 | ||||
| 18 | 方程组解法（消元法） | 通过加减消去一个变量 | ||||
| 19 | 不等式基本性质 | 若 a > b，则 a + c > b + c | ||||
| 20 | 绝对值定义 | a | = a（a ≥ 0）， | a | = -a（a < 0） |
三、几何公式类
| 序号 | 公式/技巧名称 | 描述 |
| 21 | 勾股定理 | a² + b² = c²（直角三角形） |
| 22 | 圆周长公式 | C = 2πr |
| 23 | 圆面积公式 | A = πr² |
| 24 | 三角形面积公式 | A = ½ × 底 × 高 |
| 25 | 正方形面积公式 | A = 边长² |
| 26 | 长方形面积公式 | A = 长 × 宽 |
| 27 | 梯形面积公式 | A = ½ × (上底 + 下底) × 高 |
| 28 | 矩形对角线公式 | d = √(长² + 宽²) |
| 29 | 体积公式（长方体） | V = 长 × 宽 × 高 |
| 30 | 球体积公式 | V = (4/3)πr³ |
四、概率与统计类
| 序号 | 公式/技巧名称 | 描述 |
| 31 | 概率基本公式 | P(A) = 事件A发生的结果数 / 总结果数 |
| 32 | 互斥事件概率 | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
| 33 | 独立事件概率 | P(A ∩ B) = P(A) × P(B) |
| 34 | 期望值公式 | E(X) = Σx_i × P(x_i) |
| 35 | 方差公式 | Var(X) = E(X²) - [E(X)]² |
| 36 | 标准差公式 | σ = √Var(X) |
| 37 | 中位数计算 | 排序后中间数值或中间两个数平均值 |
| 38 | 平均数公式 | 平均数 = 总和 / 个数 |
| 39 | 众数定义 | 数据中出现次数最多的数 |
| 40 | 组合公式 | C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) |
五、函数与图像类
| 序号 | 公式/技巧名称 | 描述 |
| 41 | 一次函数表达式 | y = kx + b |
| 42 | 二次函数标准式 | y = ax² + bx + c |
| 43 | 顶点坐标公式 | x = -b/(2a) |
| 44 | 反比例函数表达式 | y = k/x |
| 45 | 指数函数表达式 | y = a^x |
| 46 | 对数函数表达式 | y = log_a(x) |
| 47 | 图像平移规律 | y = f(x + h) 表示向左移动h单位 |
| 48 | 图像翻转规律 | y = -f(x) 表示关于x轴对称 |
| 49 | 函数奇偶性判定 | f(-x) = f(x) 为偶函数；f(-x) = -f(x) 为奇函数 |
| 50 | 函数单调性判断 | 导数大于0则递增，小于0则递减 |
六、数列与级数类
| 序号 | 公式/技巧名称 | 描述 | ||
| 51 | 等差数列通项公式 | a_n = a₁ + (n-1)d | ||
| 52 | 等差数列前n项和 | S_n = n(a₁ + a_n)/2 | ||
| 53 | 等比数列通项公式 | a_n = a₁ × r^(n-1) | ||
| 54 | 等比数列前n项和 | S_n = a₁(1 - r^n)/(1 - r) | ||
| 55 | 数列求和技巧 | 利用公式或分组求和 | ||
| 56 | 调和级数近似 | H_n ≈ ln(n) + γ | ||
| 57 | 级数收敛判别法 | 比值法、根值法、积分法等 | ||
| 58 | 无穷等比数列求和 | S = a₁ / (1 - r)（ | r | < 1） |
| 59 | 交错级数判别法 | Leibniz判别法 | ||
| 60 | 级数展开技巧 | 泰勒级数、麦克劳林级数等 |
七、微积分基础类
| 序号 | 公式/技巧名称 | 描述 |
| 61 | 导数定义 | f’(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h |
| 62 | 常数导数 | d/dx(c) = 0 |
| 63 | 幂函数导数 | d/dx(x^n) = nx^{n-1} |
| 64 | 乘积法则 | (fg)’ = f’g + fg’ |
| 65 | 商法则 | (f/g)’ = (f’g - fg’) / g² |
| 66 | 链式法则 | d/dx[f(g(x))] = f’(g(x)) × g’(x) |
| 67 | 积分基本定理 | ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) |
| 68 | 不定积分公式 | ∫x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C |
| 69 | 换元积分法 | ∫f(g(x))g’(x) dx = ∫f(u) du |
| 70 | 分部积分法 | ∫u dv = uv - ∫v du |
八、三角函数类
| 序号 | 公式/技巧名称 | 描述 |
| 71 | 三角函数基本关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 72 | 正弦余弦正切定义 | sinθ = 对边/斜边；cosθ = 邻边/斜边；tanθ = 对边/邻边 |
| 73 | 三角恒等式 | tanθ = sinθ / cosθ |
| 74 | 诱导公式 | 如 sin(π - θ) = sinθ |
| 75 | 和角公式 | sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b |
| 76 | 差角公式 | cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b |
| 77 | 倍角公式 | sin(2θ) = 2sinθcosθ |
| 78 | 半角公式 | sin²θ = (1 - cos2θ)/2 |
| 79 | 余弦定理 | c² = a² + b² - 2ab cosC |
| 80 | 正弦定理 | a/sinA = b/sinB = c/sinC |
九、向量与几何变换类
| 序号 | 公式/技巧名称 | 描述 | ||||
| 81 | 向量加法 | 向量相加按首尾相连 | ||||
| 82 | 向量减法 | 向量减法等于加上相反向量 | ||||
| 83 | 向量模长公式 | v | = √(x² + y²) | |||
| 84 | 向量点积 | a · b = | a | b | cosθ | |
| 85 | 向量叉积 | a × b = | a | b | sinθ n（方向垂直于两向量） | |
| 86 | 向量投影公式 | proj_b a = (a · b / | b | ²) b | ||
| 87 | 旋转矩阵 | 用于绕原点旋转向量 | ||||
| 88 | 平移变换 | 将点(x, y)变为(x + h, y + k) | ||||
| 89 | 缩放变换 | 放大或缩小图形尺寸 | ||||
| 90 | 对称变换 | 关于某轴或点对称图形 |
十、综合技巧类
| 序号 | 公式/技巧名称 | 描述 |
| 91 | 枚举法 | 列举所有可能情况求解 |
| 92 | 反证法 | 假设结论不成立，推导矛盾 |
| 93 | 数学归纳法 | 证明命题对所有自然数成立 |
| 94 | 类比推理 | 通过相似结构进行推测 |
| 95 | 图形辅助法 | 用图示帮助理解抽象问题 |
| 96 | 特殊值代入法 | 选取特定数值验证答案 |
| 97 | 分类讨论法 | 按不同情况分别处理 |
| 98 | 最优化策略 | 寻找最大值或最小值 |
| 99 | 逆向思维法 | 从结果反推过程 |
| 100 | 多角度分析法 | 从多个视角看待同一问题 |
通过掌握这100种公式与技巧，可以大大提升在“河内五分”问题中的解题能力与逻辑思维水平。建议结合实际题目反复练习，逐步形成自己的解题思路和方法体系。