【分部积分公式】在微积分的学习中，分部积分法是一种非常重要的积分技巧，尤其适用于被积函数为两个函数相乘的情况。分部积分法的理论基础来源于乘积法则的导数，其核心思想是将一个复杂的积分转化为更容易计算的形式。
一、分部积分公式的来源
分部积分法基于以下基本公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中，$ u $ 和 $ v $ 是关于 $ x $ 的可微函数。这个公式可以通过对乘积法则进行积分推导而来。
二、使用分部积分法的步骤
1. 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $：通常选择 $ u $ 为容易求导且导数逐渐简化的一类函数（如多项式、对数函数等），而 $ dv $ 则为容易积分的函数。
2. 计算 $ du $ 和 $ v $：对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 积分得到 $ v $。
3. 代入公式：将 $ u $、$ v $、$ du $、$ dv $ 代入分部积分公式中。
4. 简化并计算：化简后的新积分通常比原积分更简单，最终完成积分。
三、常见函数的搭配建议
| 函数类型 | 推荐作为 $ u $ 的函数 | 推荐作为 $ dv $ 的函数 |
| 多项式 | 多项式（如 $ x^n $） | 指数函数、三角函数 |
| 对数函数 | 对数函数（如 $ \ln x $） | 多项式、指数函数 |
| 指数函数 | 多项式、对数函数 | 指数函数 |
| 三角函数 | 多项式、对数函数 | 三角函数 |
四、分部积分的应用实例
| 题目 | 解题过程 | 结果 |
| $\int x e^x dx$ | 令 $ u = x $, $ dv = e^x dx $，则 $ du = dx $, $ v = e^x $ 代入公式得：$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$ | $ x e^x - e^x + C $ |
| $\int \ln x dx$ | 令 $ u = \ln x $, $ dv = dx $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $, $ v = x $ 代入公式得：$\int \ln x dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C$ | $ x \ln x - x + C $ |
| $\int x \cos x dx$ | 令 $ u = x $, $ dv = \cos x dx $，则 $ du = dx $, $ v = \sin x $ 代入公式得：$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C$ | $ x \sin x + \cos x + C $ |
五、注意事项
- 分部积分法并不总是能直接求解所有乘积形式的积分，有时需要多次应用该方法。
- 若第一次选择的 $ u $ 和 $ dv $ 不合适，可以尝试调换位置，再进行计算。
- 在某些情况下，可能需要结合其他积分技巧（如替换法、部分分式分解等）共同使用。
六、总结
分部积分法是处理乘积型积分的重要工具，掌握其使用方法和适用场景，能够有效提高积分运算的效率和准确性。通过合理选择 $ u $ 和 $ dv $，并遵循规范的计算步骤，大多数复杂积分问题都可以迎刃而解。