【二项式系数的通项公式是什么】在数学中，二项式定理是一个重要的代数工具，用于展开形如 $(a + b)^n$ 的表达式。其中，每一项的系数被称为“二项式系数”。而“通项公式”则是用来直接计算展开式中某一项的数学表达式。
二项式系数的通项公式是：
$$
T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
其中：
- $n$ 是二项式的指数；
- $k$ 是从0开始的整数，表示第 $k+1$ 项；
- $\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个的组合方式数目；
- $a$ 和 $b$ 是二项式中的两个项。
这个公式可以用来快速找到展开式中任意一项的系数和形式。
总结与表格展示
| 术语 | 含义 |
| 二项式 | 形如 $(a + b)^n$ 的表达式 |
| 二项式系数 | 展开式中各项前的系数，如 $\binom{n}{k}$ |
| 通项公式 | 用于计算展开式中第 $k+1$ 项的公式：$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ |
| 组合数 $\binom{n}{k}$ | 表示从 $n$ 个元素中取 $k$ 个的组合数，计算公式为 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ |
示例说明
例如，当 $n=4$，$(a + b)^4$ 展开后为：
$$
a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
$$
对应的通项如下：
| 项号 | 通项公式 | 项的值 |
| 第1项 | $\binom{4}{0} a^4 b^0$ | $a^4$ |
| 第2项 | $\binom{4}{1} a^3 b^1$ | $4a^3b$ |
| 第3项 | $\binom{4}{2} a^2 b^2$ | $6a^2b^2$ |
| 第4项 | $\binom{4}{3} a^1 b^3$ | $4ab^3$ |
| 第5项 | $\binom{4}{4} a^0 b^4$ | $b^4$ |
通过使用通项公式，我们能够快速地找到二项式展开中的任意一项，而不必逐项展开整个表达式。这是学习代数、概率论和组合数学时非常有用的知识点。