【线性相关系数r公式】在统计学中，线性相关系数（通常用符号r表示）是衡量两个变量之间线性关系密切程度的一个重要指标。它可以帮助我们判断两个变量是否具有正相关、负相关或无相关的关系。r的取值范围在-1到1之间，其中：
- r = 1 表示完全正相关
- r = -1 表示完全负相关
- r = 0 表示无线性相关
下面将对线性相关系数r的公式进行总结，并通过表格形式展示其计算过程与意义。
线性相关系数r的公式
线性相关系数r的计算公式如下：
$$
r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}
$$
其中：
- $ n $ 是数据对的数量
- $ x $ 和 $ y $ 是两组变量的观测值
- $ \sum xy $ 是每对数据乘积之和
- $ \sum x $ 和 $ \sum y $ 分别是x和y的总和
- $ \sum x^2 $ 和 $ \sum y^2 $ 是x和y各自平方后的总和
线性相关系数r的意义与应用
| 取值范围 | 含义 | 应用场景 |
| r = 1 | 完全正相关 | 数据点几乎全部落在一条直线上，且斜率为正 |
| 0.7 ≤ r < 1 | 强正相关 | 两个变量有明显正向关系 |
| 0.3 ≤ r < 0.7 | 中等正相关 | 变量间存在一定正向关联 |
| 0 < r < 0.3 | 弱正相关 | 关联较弱，可能不显著 |
| r = 0 | 无线性相关 | 无法通过线性关系解释两个变量之间的关系 |
| -0.3 < r < 0 | 弱负相关 | 变量间存在轻微反向关系 |
| -0.7 ≤ r < -0.3 | 中等负相关 | 变量间有一定反向关系 |
| -1 < r ≤ -0.7 | 强负相关 | 变量间存在明显的反向关系 |
| r = -1 | 完全负相关 | 数据点几乎全部落在一条直线上，且斜率为负 |
计算步骤简要说明
1. 收集两组变量的数据对 $(x, y)$。
2. 计算 $\sum x$, $\sum y$, $\sum x^2$, $\sum y^2$, $\sum xy$。
3. 将这些数值代入r的公式中进行计算。
4. 根据得到的r值判断两个变量之间的相关程度。
注意事项
- 相关系数仅反映线性关系，不能说明因果关系。
- 如果数据存在非线性关系，r可能无法准确反映变量之间的实际联系。
- 数据的分布和异常值也会影响r的计算结果。
通过以上内容可以看出，线性相关系数r是一个非常实用的统计工具，广泛应用于数据分析、经济研究、社会科学等多个领域。理解并正确使用r公式，有助于更准确地分析变量之间的关系。