【各种分布的方差与期望公式是什么】在概率统计中，了解不同概率分布的期望（均值）和方差是分析随机变量行为的重要基础。不同的分布具有不同的数学特性，掌握这些特性有助于我们在实际问题中进行建模、预测和决策。以下是对常见概率分布的期望与方差的总结。
一、离散型分布
| 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望 E(X) | 方差 Var(X) |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 | $ P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ | $ \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $ |
| 伯努利分布 | $ P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
二、连续型分布
| 分布名称 | 概率密度函数（PDF） | 期望 E(X) | 方差 Var(X) |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 卡方分布 | $ f(x) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} x^{k/2 -1} e^{-x/2} $ | $ k $ | $ 2k $ |
| t-分布 | $ f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\sqrt{k\pi} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} \left(1 + \frac{x^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}} $ | $ 0 $（当 $ k > 1 $） | $ \frac{k}{k-2} $（当 $ k > 2 $） |
三、其他常用分布
| 分布名称 | 期望 E(X) | 方差 Var(X) |
| 伽马分布 | $ \alpha \beta $ | $ \alpha \beta^2 $ |
| 贝塔分布 | $ \frac{\alpha}{\alpha+\beta} $ | $ \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2 (\alpha+\beta+1)} $ |
| 逻辑斯蒂分布 | $ \mu $ | $ \frac{\pi^2}{3} $ |
四、总结
以上表格涵盖了常见的离散型与连续型概率分布的期望与方差公式。理解这些基本统计量，不仅有助于我们对数据的描述和分析，还能为后续的统计推断、参数估计和假设检验打下坚实的基础。
在实际应用中，根据具体问题选择合适的分布模型，并计算其期望与方差，是进行科学建模的关键步骤之一。希望本表能够为学习者提供清晰的参考与帮助。