问抛物线顶点坐标公式

【抛物线顶点坐标公式】在数学中，抛物线是二次函数的图像，其形状为对称的U型曲线。了解抛物线的顶点坐标对于分析其性质、求解极值问题以及绘制图像具有重要意义。本文将总结抛物线顶点坐标的计算方法，并通过表格形式进行对比说明。

一、抛物线的基本形式

抛物线的标准形式通常有以下两种：

1. 一般式：

$ y = ax^2 + bx + c $

2. 顶点式：

$ y = a(x - h)^2 + k $

其中，$ (h, k) $ 是抛物线的顶点坐标。

二、顶点坐标的计算方法

方法一：由一般式推导顶点坐标

对于一般式 $ y = ax^2 + bx + c $，其顶点横坐标为：

$$

x = -\frac{b}{2a}

$$

将该值代入原式可得纵坐标：

$$

y = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c

$$

化简后得到：

$$

y = \frac{4ac - b^2}{4a}

$$

因此，顶点坐标为：

$$

\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)

$$

方法二：直接使用顶点式

若已知顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $，则顶点坐标直接为：

$$

(h, k)

$$

三、顶点坐标公式的应用与对比

四、实例分析

例1：

给定抛物线 $ y = 2x^2 - 4x + 1 $，求其顶点坐标。

- 由一般式可知：

$ a = 2, b = -4, c = 1 $

$ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $

$ y = \frac{4 \times 2 \times 1 - (-4)^2}{4 \times 2} = \frac{8 - 16}{8} = -1 $

- 顶点坐标为 $ (1, -1) $

例2：

已知抛物线的顶点式为 $ y = 3(x - 2)^2 + 5 $，则其顶点为 $ (2, 5) $。

五、总结

抛物线的顶点坐标是其图像的最高点或最低点，根据不同的表达形式，可以通过相应的公式进行计算。掌握这些方法有助于更好地理解二次函数的图像特征和实际应用。

通过以上内容可以看出，掌握抛物线顶点坐标的计算方法是学习二次函数的重要基础之一。