【关于代数余子式的性质】代数余子式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于行列式的计算、矩阵的逆求解以及克莱姆法则等。理解代数余子式的性质有助于更深入地掌握矩阵与行列式的相关知识。以下是对代数余子式主要性质的总结。
一、代数余子式的定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，$ M_{ij} $ 表示去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 矩阵的行列式，则其对应的代数余子式为：
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
$$
二、代数余子式的性质总结
| 序号 | 性质名称 | 内容描述 |
| 1 | 代数余子式与行列式的展开 | 对于任意 $ n \times n $ 矩阵 $ A $，其行列式可以按第 $ i $ 行或第 $ j $ 列展开： $ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij} $ 或 $ \det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij} $ |
| 2 | 余子式与行列式的对称性 | 若将矩阵转置，则其代数余子式保持不变，即 $ A_{ij} = A'_{ji} $（其中 $ A' $ 是 $ A $ 的转置矩阵） |
| 3 | 非同列/行的代数余子式乘积和 | 对于任意 $ i \neq k $，有 $ \sum_{j=1}^n a_{kj} A_{ij} = 0 $，即不同行的代数余子式与原矩阵对应列元素的乘积和为零 |
| 4 | 零向量的代数余子式性质 | 如果某一行或某一列全为零，则该行或该列对应的代数余子式均为零 |
| 5 | 代数余子式与伴随矩阵 | 伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $ 的第 $ i $ 行第 $ j $ 列元素为 $ A_{ji} $，即 $ \text{adj}(A) = (A_{ji}) $ |
| 6 | 逆矩阵的表达式 | 若 $ A $ 可逆，则 $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) $，即 $ A^{-1}_{ij} = \frac{A_{ji}}{\det(A)} $ |
三、小结
代数余子式不仅是行列式计算的重要工具，也是矩阵求逆、克莱姆法则等应用的基础。通过上述性质，我们可以更灵活地处理矩阵运算问题，并在实际应用中提高计算效率与准确性。
了解这些性质有助于加深对线性代数核心概念的理解，也为后续学习如特征值、特征向量等内容打下坚实基础。