【流体力学公式】流体力学是研究流体（包括液体和气体）在静止或运动状态下的力学行为的科学。它广泛应用于工程、物理、航空航天、气象等多个领域。掌握流体力学的基本公式，有助于理解流体的运动规律及其与周围环境的相互作用。
以下是对流体力学中常见公式的总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本概念与公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 连续性方程（质量守恒） | $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$ | 描述流体质量守恒的方程 |
| 欧拉方程（无粘性流体） | $\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \rho (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = -\nabla p + \rho \mathbf{g}$ | 描述理想流体的运动规律 |
| 纳维-斯托克斯方程（粘性流体） | $\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}$ | 描述粘性流体的运动方程 |
| 伯努利方程（不可压缩、稳态、无粘性） | $p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{常数}$ | 描述流体能量守恒的方程 |
| 雷诺数 | $Re = \frac{\rho v L}{\mu}$ | 判断流动是层流还是湍流的无量纲数 |
| 压强与高度关系（静止流体） | $p = p_0 + \rho g h$ | 描述静止流体中的压强变化 |
二、典型应用公式
| 应用场景 | 公式表达式 | 说明 |
| 流量计算 | $Q = A v$ | 流量等于截面积乘以流速 |
| 壁面剪切应力 | $\tau_w = \mu \frac{\partial u}{\partial y}$ | 描述壁面上的剪切力 |
| 管道沿程损失 | $h_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}$ | 计算管道中由于摩擦造成的能量损失 |
| 边界层厚度 | $\delta \approx 5 \frac{\nu x}{u_\infty}$ | 估算边界层的厚度 |
| 速度势函数 | $\nabla^2 \phi = 0$ | 描述不可压缩、无旋流动的速度场 |
| 位函数与流函数关系 | $\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$ | 在二维不可压缩无旋流动中，速度势与流函数的关系 |
三、常用单位与量纲
| 物理量 | 单位（SI） | 量纲 |
| 密度 | kg/m³ | [M][L]⁻³ |
| 压强 | Pa (N/m²) | [M][L]⁻¹[T]⁻² |
| 流速 | m/s | [L][T]⁻¹ |
| 动力粘度 | Pa·s | [M][L]⁻¹[T]⁻¹ |
| 运动粘度 | m²/s | [L]²[T]⁻¹ |
| 流量 | m³/s | [L]³[T]⁻¹ |
四、总结
流体力学是一门复杂但重要的学科，其核心在于对流体运动规律的理解与建模。通过上述公式，可以对流体的运动、压力分布、能量转换等进行定量分析。在实际工程中，这些公式被广泛用于设计管道系统、优化飞行器外形、预测天气变化等。
掌握这些基础公式不仅有助于理论学习，还能提升解决实际问题的能力。建议结合具体案例进行练习，以加深理解。