【标准差计算公式】在统计学中，标准差是一个衡量数据分布离散程度的重要指标。它反映了数据点与平均值之间的偏离程度。标准差越大，说明数据越分散；标准差越小，说明数据越集中。
标准差的计算公式分为两种：总体标准差和样本标准差。它们的计算方式略有不同，主要区别在于分母是“n”还是“n-1”。
一、标准差的基本概念
| 概念 | 定义 |
| 平均值（均值） | 所有数据之和除以数据个数 |
| 方差 | 数据与平均值的平方差的平均值 |
| 标准差 | 方差的平方根 |
二、标准差计算公式
1. 总体标准差公式：
$$
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}
$$
- $ \sigma $：总体标准差
- $ N $：总体数据个数
- $ x_i $：第i个数据点
- $ \mu $：总体平均值
2. 样本标准差公式：
$$
s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}
$$
- $ s $：样本标准差
- $ n $：样本数据个数
- $ x_i $：第i个数据点
- $ \bar{x} $：样本平均值
三、标准差计算步骤
以下是计算标准差的一般步骤：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 计算数据集的平均值（均值） |
| 2 | 每个数据点减去平均值，得到偏差值 |
| 3 | 将每个偏差值平方 |
| 4 | 计算所有平方偏差的总和 |
| 5 | 除以数据个数（总体）或数据个数减一（样本） |
| 6 | 对结果开平方，得到标准差 |
四、示例计算（以样本为例）
假设有一组数据：$ 5, 7, 9, 11, 13 $
1. 计算平均值：
$$
\bar{x} = \frac{5 + 7 + 9 + 11 + 13}{5} = 9
$$
2. 计算每个数据点与平均值的差：
$$
(5-9) = -4,\quad (7-9) = -2,\quad (9-9) = 0,\quad (11-9) = 2,\quad (13-9) = 4
$$
3. 平方这些差值：
$$
(-4)^2 = 16,\quad (-2)^2 = 4,\quad 0^2 = 0,\quad 2^2 = 4,\quad 4^2 = 16
$$
4. 求和：
$$
16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
$$
5. 计算方差（样本）：
$$
s^2 = \frac{40}{5-1} = 10
$$
6. 计算标准差：
$$
s = \sqrt{10} \approx 3.16
$$
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 标准差作用 | 衡量数据波动大小 |
| 公式类型 | 总体标准差 / 样本标准差 |
| 公式差异 | 分母为n或n-1 |
| 计算步骤 | 均值 → 差值 → 平方 → 求和 → 方差 → 标准差 |
| 应用场景 | 统计分析、质量控制、金融风险评估等 |
通过掌握标准差的计算方法，我们可以更好地理解数据的分布特征，为数据分析提供有力支持。