【什么叫正定矩阵】正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程和统计学等领域。它不仅在理论分析中具有重要意义，也在实际问题建模中发挥着关键作用。理解正定矩阵的定义及其性质，有助于更好地掌握矩阵的相关知识。
一、正定矩阵的定义
一个n×n的实对称矩阵A被称为正定矩阵，如果对于所有非零向量x ∈ Rⁿ，都有：
$$
x^T A x > 0
$$
换句话说，正定矩阵在所有非零向量上的二次型都为正值。
二、正定矩阵的性质
| 属性 | 描述 | ||
| 对称性 | 正定矩阵一定是实对称矩阵，即A = Aᵀ | ||
| 特征值 | 所有特征值均为正实数 | ||
| 行列式 | 行列式大于0（det(A) > 0） | ||
| 主子式 | 所有顺序主子式均大于0（如a₁₁ > 0, | a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂ | > 0等） |
| 可逆性 | 正定矩阵一定可逆，且其逆矩阵也是正定的 | ||
| 二次型 | 对于任意非零向量x，二次型xᵀAx > 0 |
三、正定矩阵的应用
正定矩阵在多个领域中有着重要应用，主要包括：
- 优化问题：在凸优化中，目标函数的Hessian矩阵正定意味着该点是一个局部最小值。
- 统计学：协方差矩阵通常是正定的，用于描述变量之间的相关性。
- 数值分析：正定矩阵在求解线性方程组时更稳定，常用于迭代法和预处理技术。
- 机器学习：在支持向量机、高斯过程等模型中，正定矩阵用于构建核函数或概率分布。
四、判断矩阵是否正定的方法
| 方法 | 说明 |
| 特征值法 | 计算矩阵的所有特征值，若全部为正，则为正定矩阵 |
| 求行列式 | 计算各阶顺序主子式的行列式，若全为正，则为正定矩阵 |
| 二次型检验 | 任取非零向量x，计算xᵀAx是否始终为正 |
| Cholesky分解 | 若能进行Cholesky分解（A = LLᵀ），则A为正定矩阵 |
五、总结
正定矩阵是一种特殊的对称矩阵，其核心特性在于所有非零向量经过该矩阵变换后的结果都是正数。这使得正定矩阵在数学和工程中具有广泛的应用价值。通过特征值、行列式、二次型等方法可以判断一个矩阵是否为正定矩阵。理解正定矩阵的概念和性质，有助于深入掌握矩阵理论及其实际应用。