【几何平均数的计算公式】在统计学中，几何平均数是一种常用的平均值计算方法，尤其适用于数据呈现指数增长或比例变化的情况。与算术平均数不同，几何平均数能够更好地反映数据之间的相对变化关系，因此在金融、经济、生物学等领域有广泛应用。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是指将一组数值相乘后，再开n次方（n为数值个数）所得到的结果。它适用于所有数值均为正数的情况，特别适合处理增长率、比率等数据。
二、几何平均数的计算公式
设有一组正数 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，则其几何平均数 $ G $ 的计算公式为：
$$
G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}
$$
也可以表示为：
$$
G = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}
$$
其中，$ \prod $ 表示连乘符号。
三、几何平均数的特点
| 特点 | 描述 |
| 适用性 | 只能用于正数数据，不适用于零或负数 |
| 对极端值敏感 | 相较于算术平均数，对极大值和极小值的反应更弱 |
| 反映比例变化 | 更适合衡量增长率、收益率等相对变化的数据 |
| 与算术平均数的关系 | 在所有数值相同的情况下，几何平均数等于算术平均数；否则，几何平均数总是小于或等于算术平均数 |
四、举例说明
假设某公司三年的年增长率分别为：5%、10%、15%，求这三年的平均增长率。
首先将增长率转换为倍数：1.05、1.10、1.15
计算几何平均数：
$$
G = \sqrt[3]{1.05 \times 1.10 \times 1.15} = \sqrt[3]{1.32825} \approx 1.10
$$
即年均增长率为约 10%。
五、常见应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 投资回报率 | 计算多期投资的平均回报率 |
| 经济增长率 | 分析地区或国家的经济增长速度 |
| 生物学研究 | 分析细胞分裂、种群增长等 |
| 指数计算 | 如消费者价格指数（CPI）、股票指数等 |
六、总结
几何平均数是一种重要的统计指标，尤其在处理具有比例变化或指数增长的数据时表现出色。通过公式 $ G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} $，可以准确计算出一组正数的几何平均值。相比算术平均数，它更能反映数据的真实增长趋势，在实际应用中具有广泛的价值。
表格总结：几何平均数计算公式及特点
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 几何平均数 |
| 公式 | $ G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} $ |
| 适用数据 | 正数 |
| 特点 | 反映比例变化、对极端值不敏感 |
| 应用领域 | 投资、经济、生物、指数分析等 |