【反三角函数公式】反三角函数是三角函数的反函数，主要用于求解角度。在数学中，常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。它们在微积分、物理和工程等领域有广泛应用。以下是对常见反三角函数公式的总结。
一、基本定义
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | $ y = \arcsin(x) $ | $ x \in [-1, 1] $ | $ y \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ |
| 反余弦 | $ y = \arccos(x) $ | $ x \in [-1, 1] $ | $ y \in [0, \pi] $ |
| 反正切 | $ y = \arctan(x) $ | $ x \in \mathbb{R} $ | $ y \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ |
二、常用公式
1. 互为补角关系
- $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $
- $ \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} $ （当 $ x > 0 $）
2. 对称性
- $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $
- $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $
- $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $
3. 导数公式
| 函数名称 | 导数 |
| $ \frac{d}{dx} \arcsin(x) $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \frac{d}{dx} \arccos(x) $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \frac{d}{dx} \arctan(x) $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、特殊值表
| $ x $ | $ \arcsin(x) $ | $ \arccos(x) $ | $ \arctan(x) $ |
| 0 | 0 | $ \frac{\pi}{2} $ | 0 |
| $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\pi}{6} $ |
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\pi}{4} $ |
| $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{\pi}{3} $ |
| 1 | $ \frac{\pi}{2} $ | 0 | $ \frac{\pi}{4} $ |
四、应用举例
1. 求解方程：
解方程 $ \sin(x) = \frac{1}{2} $，可得 $ x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $。
2. 计算导数：
若 $ y = \arctan(x) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} $。
3. 几何问题：
在直角三角形中，若对边为 1，邻边为 $ \sqrt{3} $，则角为 $ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} $。
五、注意事项
- 反三角函数的值域是固定的，不能随意更改。
- 在实际应用中，需注意角度单位（弧度或角度）是否一致。
- 某些公式仅在特定区间内成立，使用时应结合定义域判断。
通过掌握这些反三角函数的基本公式和性质，可以更高效地解决与角度相关的数学问题，尤其在高等数学和工程计算中具有重要意义。